Logarithme décimal

Pour tout réel strictement positif \(a\) , on appelle logarithme en base \(10\) de  \(a\) le réel noté  \(\log(a)\) et défini par \(\log(a)=\dfrac{\ln(a)}{\ln(10)}\) .
Ainsi, si l’on connaît une méthode pour calculer le logarithme népérien d’un réel strictement positif, il est possible d’en déduire son logarithme décimal, et inversement – on a en effet \(\ln(a)=\dfrac{\log(a)}{\log(e)}\) .

Exercice

1. Montrer que le logarithme décimal possède des propriétés de calcul similaires à celles du logarithme népérien, à savoir que, pour tous réels strictement positifs  \(a\) et  \(b\) et pour tout entier relatif \(n\) , on a \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\) , \(\log(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\log(a)\)  et \(\log(a^n)=n \times \log(a)\) .
2. Exprimer  \(\log(\sqrt{ab})\)  en fonction de \(\log(a)\)  et \(\log(b)\) .
3. Soit  \(n\) un entier relatif. Que vaut \(\log(10^n)\)  ?
4. Montrer que la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur  \(]0~;+\infty[.\)